Encuentra todas las soluciones reales del sistema de ecuaciones:
x² – y² = 2(xz + yz + x + y)
y² – z² = 2(yx + zx + y + z)
z² – x² = 2(zy + xy + z + x)
Solución: próximamente
]]>Encuentra todos los enteros no negativos a, b, c que cumplen que 3a + 3b + 3c es un cuadrado perfecto.
Solución:
Lo primero es tantear un poco. Vemos que 3 + 3 + 3 = 9 y que 3³ + 3³ + 3³ = 81 que también lo es, así que pronto podemos formular la hipótesis de que los únicos enteros no negativos serían los que fuesen iguales e impares.
Es fácil probar que si a es un entero no negativo impar, tenemos que a = 2n + 1 para algún n, con lo que 3a + 3a + 3a = 32n(3 + 3 + 3) = 32n·9 que es el cuadrado de 3n·3.
Ahora, vamos a ver que con ninguna otra combinación de a, b y c se puede lograr este objetivo.
Si fuesen iguales, pero fuesen una potencia par, tendríamos que la suma sería 3·32n, que es el triple de un cuadrado, por lo que no podría ser un cuadrado (es obvio que en la factorización prima de un cuadrado, todos los primos deben estar elevados a una potencia par).
Ahora viene la parte más difícil, que es estudiar los casos diferentes que se presentan si son distintos. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que a es el menor de los tres enteros no negativos, y que esa suma con la que vamos a trabajar es un cuadrado perfecto y llegaremos a alguna contradicción.
Definimos r = b – a y s = c – a. Si sacamos factor común la potencia 3a, tenemos que el número que buscamos se transforma en 3a(1 + 3r + 3s), donde bien r o bien s no son 0. Evidentemente, el número 1 + 3r + 3s no puede ser un múltiplo de 3, por lo que a debe ser par y 1 + 3r + 3s debe ser un cuadrado perfecto.
Todos los cuadrados que no son múltiplos de 3 son de la forma 3n + 1, porque (3n + 1)² = 3(3n² + 2n) + 1 y (3n – 1)² = 3(3n² – 2n) + 1 (también se puede razonar por restos módulo 3). Por lo tanto, está claro que ni r ni s pueden ser cero, ya que el número sería de la forma 3n + 2.
Después de trabajar bastante módulo 4, es decir, pensando en la multiplicidad por 4, he visto que no llegaba a una contradicción rápida. Sin embargo, tras mucho pensar, optando por el módulo 8 sale más claro. Resulta que si tengo un número al cuadrado, debe ser de la forma 8n, 8n + 1 o bien 8n + 4. Un estudio detallado nos relaciona los 8 posibles restos con uno de estos tres casos.
Por otra parte, las potencias de 3 sólo pueden ser de la forma 8n + 3 o bien 8n + 1, como se puede razonar multiplicando una y otra vez por 3 volviendo a 0 cada vez que llegas a 8.
Pero claro, en ese caso, según sean de un tipo u otro, tenemos que 1 + 3r + 3s o bien es de la forma 8n + 3, o es de la forma 8n + 5, o bien es de la forma 8n + 7, y por tanto es imposible que sea un cuadrado perfecto. Así llegamos a una contradicción.
Nota 1. Explicación de que todas las potencias de 3 son de esas dos formas. Está claro que 3⁰ = 1 es de la forma 8n + 1. Si multiplicamos por 3 una potencia de la forma 8n + 1, pasamos a 24n + 3, es decir, 8(3n) + 3. si multiplicamos una de la forma 8n + 3, pasamos a 24n + 9 = 8(3n + 1) + 1.
Nota 2. Explicación de que todas los cuadrados son de esas tres formas.
(8n)² = 8(8n²)
(8n + 1)² = 8(8n² + 2n) + 1
(8n + 2)² = 8(8n² + 4n) + 4
(8n + 3)² = 8(8n² + 6n + 1) + 1
(8n + 4)² = 8(8n² + 8n + 2)
(8n + 5)² = 8(8n² + 10n + 3) + 1
(8n + 6)² = 8(8n² + 12n + 4) + 4
(8n + 7)² = 8(8n² + 14n + 6) + 1
Si te fijas, los primeros dos sumandos son claramente múltiplos de 8, la gran diferencia está en el cuadrado del otro sumando, por eso resulta más sencillo estudiar sólo los restos de los cuadrados.
]]>Encuentra todos los enteros no negativos a, b, c que cumplen que 3a + 3b + 3c es un cuadrado perfecto.
Solución: Aquí.
]]>Determina los enteros positivos p para los que el polinomio
f(x) = 4x² + p
toma valores primos en todos los enteros x = 0, 1, … p – 1.
Solución:
Este es uno de los problemas más difíciles de la fase, en mi opinión, ya que encontrar un patrón en los números primos (o en los compuestos) es bastante difícil, el que yo he encontrado es muy similar o al de la solución oficial, aunque vaya por delante que se podrían haber encontrado otros.
Ensayando, rápidamente nos damos cuenta de que p debe ser primo, ya que f(0) = 0 + p = p es primo.
De esta forma, descartamos 2 y 5, ya que, en el caso de 2, f(1) = 6, que es compuesto, y en el de 5, f(1) = 9.
El 3 es el primer número que cumple el enunciado, ya que f(0) = 3, f(1) = 7 y f(2) = 19.
El 7 es el segundo número que lo cumple, y aquí es un poco más largo, ya que la secuencia de primos que aparece es 7, 11, 23, 43, 71 y 151, y el valor de x de este último es 6 = 7 – 1.
Si seguimos comprobando con valores de p mayores, vemos que ya no aparecen más números que cumplan este enunciado, pero es complicado explicar en qué valor falla alguno de ellos. Veamos algunos de los números que fallan y en qué números podemos calcular que fallan.
El 11 falla en 1, ya que f(1) = 15 = 3·5. También falla en 2, f(2) = 27 = 3·3·3.
El 13 falla en 3, f(3) = 49 = 7·7, y en 4, que da 77 = 7·11.
El 17 falla en 1, que da 21 = 3·7, mientras que en 2, da 33 = 3·11.
La secuencia sigue, y es difícil encontrar algo a lo que podamos llamar patrón. Lo primero que llama la atención es que parecen fallar en dos seguidos, y que estos dos fallos comparten un divisor.
El 19, falla en 2, con 35 = 5·7 y en 3, con 55 = 5·11.
El 23, falla en 1 (27 =3·3·3) y en 2 (39 = 3·13).
El 29, falla en 1 (33 = 3·11) y en 2 (45 = 3·3·5).
El 31 es diferente, aquí no sucede en números seguidos, así que hace saltar la alarma de patrón confuso. El primer número donde falla es 1 (35 = 5·7), mientras que el segundo es (4 = 5·19). Sin embargo, mantienen lo del divisor en común. Inquieta, pero luego veremos qué tiene de especial el 31.
Para mí, el 37 fue clave en el desarrollo del problema. El primer número en que falla es el 9, ya que f(9) da 361 = 19·19, y f(10) = 437 = 19·23. Y aquí se me encendió la bombilla.
¿Qué tiene que ver 19 con 37?, que divide a 37 + 1. Además 9 y 10 son los enteros más próximos a la mitad de 19.
Veamos qué está pasando.
Supongamos que q es un divisor impar de p + 1, ya que p es impar por ser un primo mayor que 10.
El 31 y el 127, por ejemplo, no tienen ese divisor, ya que el siguiente número es una potencia de 2, tendremos que estudiar qué les sucede de otra forma.
Por tanto en este ataque nos ocupamos de los primos que no son anteriores a una potencia de 2.
Ahora, los enteros que están más cerca de la mitad serían (q + 1)/2 y (q – 1)/2. Estos van a ser los valores de x, y veamos qué da f(x).
f(x) = 4((q – 1)/2)² + p = 4(q² – 2q + 1)/4 + p = q² – 2q + 1 + p.
f(x) = 4((q + 1)/2)² + p = 4(q² + 2q + 1)/4 + p = q² + 2q + 1 + p.
En ambos casos, el número es divisible por q, ya que los primeros dos sumandos tienen un factor q, y los otros dos son precisamente q + 1. Está claro que serán números compuestos, así que esos valores de p no pueden ser del conjunto buscado.
Ahora, vamos a centrarnos en los números que son anteriores a una potencia de 2. Observamos que 3 y 7 están entre esos números, y por eso no se les puede aplicar el razonamiento. Además, resulta curioso que en 31 ocurra otra circunstancia con respecto a lo de tener un par consecutivo de números que son divisibles por un mismo factor. Como tengo tiempo, voy a probar qué pasa con 127, el segundo de los primos a los que seguramente les pase lo mismo.
Con p = 127, f(2) = 143 = 11·13, pero no encontramos otro hasta f(7) = 17·19 y f(10) = 17·31, que aparentemente no tienen nada que ver con el primero, pero también se encuentran a 3 de diferencia, como en el caso de 31. El factor 17 tiene un múltiplo cerca de 127, 136, exactamente 9 unidades más adelante. Eso nos puede hacer sospechar. Lamentablemente, los siguientes primos anteriores a potencias de 3 son muy grandes, pero si tuviésemos calculadora podríamos probar y ver que en efecto a todos les ocurre algo así. El siguiente es 8191, y podemos comprobar que f(1) = 5·11·149 y
f(4) = 5·13·127.
Algo pasa, por tanto, con el número p + 9. Puesto que p + 1 es una potencia de 2, p + 9 no puede serlo, si p es mayor que 10, ya que las potencias de 2 están más separadas a partir de 8. Por tanto, supongamos que q es un divisor impar de p + 9. En este caso, podemos usar (q + 3)/2 o bien (q – 3)/2, que observamos que se diferencian exactamente en 3 unidades. Basta probar con uno de ellos, todos son menores que p – 1, claramente, ya que p + 9 es divisible al menos por 8.
f((q + 3)/2) = 4((q + 3)/2)² + p = q² + 6q + 9 + p, y de nuevo el número es claramente divisible por q, por ser múltiplo de q los dos primeros sumandos, y haber elegido un q que divide a p + 9.
Al final, vemos que 3 y 7 son casos especiales, ya que en el caso de 7, ni 7 + 1 ni 7 + 9 tienen divisores impares, y en el caso de 3, 3 + 1 no tiene y 3 + 9 = 12, sólo tiene el divisor 3, pero los números en los que se encuentra (3 + 3)/2 es demasiado grande (la x es igual a 3) y (3 – 3)/2 ocasiona un número en p(x) que es exactamente 3, con lo que, a pesar de ser divisible por 3, es primo.
]]>Determina los enteros positivos p para los que el polinomio
f(x) = 4x² + p
toma valores primos en todos los enteros x = 0, 1, … p – 1.
Solución: Aquí.
]]>Determina todas las soluciones reales del sistema de ecuaciones siguiente:
x³ = 5x + y
y³ = 5y + x
Solución: Aquí.
]]>Determina todas las soluciones reales del sistema de ecuaciones siguiente:
x³ = 5x + y
y³ = 5y + x
Solución:
Lo primero que apreciamos es que las dos ecuaciones relacionan de manera simétrica ambas variables, es decir, si cambiamos el papel de x y de y, cumplen una u otra ecuación.
También es cierto que podemos despejar fácilmente alguna variable, de forma que y = x³ – 5x o bien x = y³ – 5y.
Si ambas variables fuesen iguales, tendríamos que cumplir x = x³ – 5x, es decir, que 0 = x³ – 6x, que tiene tres soluciones muy sencillas de calcular, x = 0, x = raíz(6) y x = – raíz(6). En esos tres valores, siendo x = y tendríamos una solución del sistema, por tanto, tenemos ya tres soluciones (0, 0), (raíz(6), raíz(6)) y (-raíz(6), – raíz(6)).
Vamos a despejar y sustituir, puesto que y = x³ – 5x, tenemos que y³ = x⁹ – 15x⁷ + 75x⁵ – 125x³, operación que si no sabes desarrollar un cubo te interesa lograr multiplicando (x³ – 5x)²· (x³ – 5x). Si quieres asegurarte de que lo has hecho bien, prueba a cambiar la x por un número sencillo, como 1, para ver si da lo mismo en ambos casos.
Al sustituir en la ecuación y³ = 5y + x, tenemos x⁹ – 15x⁷ + 75x⁵ – 125x³ = 5x³ – 25x + x. Igualando a cero, tenemos un polinomio de noveno grado que factorizar: x⁹ – 15x⁷ + 75x⁵ – 130x³ + 24x = 0. Observa que le faltan varios términos y que a lo sumo va a tener 9 soluciones. Y 3 de esas soluciones ya las tenemos.
Procedemos a sacar factor común la x (que corresponde a la solución x = 0), y vemos que se queda una ecuación fácilmente reducible, ya que todos sus términos son pares. Haciendo el cambio t = x², quedaría t⁴ – 15t³ + 75t² – 130t + 24 = 0
Pero recordad que ya tenemos dos soluciones, es decir, que sabemos que si x = raíz(6) y x = -raíz(6), se cumple. En ambos casos, t = 6. Por lo tanto, dividiendo por ruffini bajamos el grado de la ecuación:
1 -15 +75 -130 24 6 6 -54 126 -24 1 -9 21 -4 0
Queda el polinomio t³ – 9t² +21t – 4 = 0. Todavía no podemos aplicarle fórmula, pero polinomios de este tipo hemos trabajado. Debemos seguir probando con divisores de 4. Tras descartar 1 y -1, 2 y -2, tenemos que centrarnos en el 4.
1 -9 21 -4 4 4 -20 4 1 -5 1 0
Con lo que t = 4 es solución, que nos da otro par de soluciones, ya que tendríamos que x = 2 e y = – 2, y por otro lado x= -2 e y = 2. Es decir, las soluciones (2, -2) y (-2, 2), lo que hace un total de 5 soluciones.
Lo que nos queda es un polinomio t² – 5t + 1 = 0, que claramente no tiene más soluciones enteras, pero sí reales, ya que t puede ser (5 + raíz(21))/2 o bien ser (5 – raíz(21))/2, ambas positivas, con lo que x podría tener cuatro valores diferentes más.
1) x = raíz((5 + raíz(21))/2), calculando y = x³ – 5x.
2) x = -raíz((5 + raíz(21))/2), calculando y = x³ – 5x.
3) x = raíz((5 – raíz(21))/2), calculando y = x³ – 5x.
4) x = -raíz((5 – raíz(21))/2), calculando y = x³ – 5x.
Con esto el problema queda cerrado, porque tenemos las 9 soluciones que podía tener a lo sumo.
Sin embargo, estaría bien saber algo más de esas raíces, ya que la raíz de una suma no es sencilla de obtener. ¿Podríamos reescribir (5 + raíz(21))/2 como el cuadrado de una suma, para poder hacer la raíz cuadrada? Resulta que sí.
Supongamos que tenemos como objetivo mejor (10 + 2raíz(21))/4), que es más sencillo que sea el cuadrado de algo partido por 2, y podemos suponer que ese algo es raíz(a) + raíz(b). Haciendo un sistema con la parte que se queda en la raíz y la que se eleva al cuadrado, podemos deducir que a = 3 y b = 7.
Por tanto (5 + raíz(21))/2 = ((raíz(3) + raíz(7))/2)², por lo que las raíces quedan así, y son algo más cómodas de escribir:
1) x = (raíz(3) + raíz(7))/2, operando, tenemos que y = (raíz(3) – raíz(7))/2.
2) x = -(raíz(3) + raíz(7))/2, calculando y = (-raíz(3) + raíz(7))/2.
3) x = (raíz(3) – raíz(7))/2, calculando y = (raíz(3) + raíz(7))/2.
4) x = (-raíz(3) + raíz(7))/2, calculando y = -(raíz(3) + raíz(7))/2.
Y esos eran los 4 puntos que faltaban. Serían, por tanto, las 9 soluciones.
]]>Antonio y Luis quieren ir a ver a un amigo que está a 90 km de donde se encuentran.
Para ello, salen juntos en bicicleta a las siete de la mañana.
Antonio recorre 30 km cada hora y Luis 20 km cada hora. (Suponemos que las velocidades de ambos son constantes).
Antonio, tras haber recorrido los primeros 45 km, se detiene durante una hora y cuarto para almorzar y luego sigue el recorrido hasta llegar a la casa de su amigo.
Luis recorre todo el camino sin parar.
Te damos la gráfica que representa los km recorridos por Luis en cada momento.
Contesta las siguientes preguntas y explica el razonamiento seguido para obtener las respuestas.
Las gráficas te pueden servir de ayuda para contestar.
a. En esta misma gráfica representa los km recorridos por Antonio en cada momento.
b. ¿Desde qué hora hasta qué hora está parado Antonio?
c. ¿A qué hora se encuentran Antonio y Luis por primera vez? ¿A qué distancia de la casa de su
amigo se encuentran?
d. ¿A qué hora se encuentran Antonio y Luis por segunda vez? ¿A qué distancia de la casa de su
amigo se encuentran?
e. ¿Cuánto tiempo tarda cada uno en llegar a casa de su amigo?
Solución:
El dibujo debería ser parecido al que viene a continuación:
b) Como cada hora, Antonio recorre 30 km, llegará al kilómetro 45 en una hora y media (90 minutos). Antonio está parado desde la hora y media de la salida hasta dos horas y tres cuartos.
c) Como Luis recorre 20 km en una hora, tarda en alcanzar los 45 dos horas y cuarto, a esa hora será su primer encuentro. A 45 km de casa de su amigo.
d) Media hora más tarde, cuando han pasado dos horas y tres cuartos de hora, Antonio vuelve a ponerse en marcha, y Luis lleva 10 km de ventaja. Como cada hora le recorta 10 km, tardará 1 hora (cuando hace tres horas y tres cuartos que salió) en encontrarlo por segunda vez, y faltarán 15 km para casa de su amigo.
e) Antonio tarda en total 4 horas y un cuarto (3 horas de pedaleo, y una hora y cuarto de almuerzo), mientras que Luis tarda 4 horas y media, porque recorre 20 km cada hora.
]]>Antonio y Luis quieren ir a ver a un amigo que está a 90 km de donde se encuentran.
Para ello, salen juntos en bicicleta a las siete de la mañana.
Antonio recorre 30 km cada hora y Luis 20 km cada hora. (Suponemos que las velocidades de ambos son constantes).
Antonio, tras haber recorrido los primeros 45 km, se detiene durante una hora y cuarto para almorzar y luego sigue el recorrido hasta llegar a la casa de su amigo.
Luis recorre todo el camino sin parar.
Te damos la gráfica que representa los km recorridos por Luis en cada momento.
Contesta las siguientes preguntas y explica el razonamiento seguido para obtener las respuestas.
Las gráficas te pueden servir de ayuda para contestar.
a. En esta misma gráfica representa los km recorridos por Antonio en cada momento.
b. ¿Desde qué hora hasta qué hora está parado Antonio?
c. ¿A qué hora se encuentran Antonio y Luis por primera vez? ¿A qué distancia de la casa de su
amigo se encuentran?
d. ¿A qué hora se encuentran Antonio y Luis por segunda vez? ¿A qué distancia de la casa de su
amigo se encuentran?
e. ¿Cuánto tiempo tarda cada uno en llegar a casa de su amigo?
Solución: Aquí
]]>En un cuadrado ABCD de 4 unidades de lado, se marca un punto E en el lado DA de forma que la longitud entre E y D es de 3 unidades.
En la figura se puede apreciar una circunferencia R, tangente a los lados DA y AB, y al segmento CE.
a) Encuentra el radio de la circunferencia R razonadamente.
b) Decidir cómo se puede hacer una construcción con regla y compás que nos permita trazar la circunferencia R.
Solución:
Veo dos formas de enfocar este problemas, por semejanzas y radios, o bien por bisectrices, como la mayoría de tangentes.
Por bisectrices, es utilizar que si tenemos una circunferencia tangente a dos rectas, su centro está sobre la bisectriz de las dos rectas.
En este caso, al ser tangente a tres rectas es fácil encontrar dos o tres bisectrices.
Hay una tercera bisectriz, en la que estaría el centro, pero no es tan obvia (la que forman AE y BC).
Hay varios métodos para fabricar las bisectrices, pero yo prefiero hacer los vectores y usarlos para conseguir el vector de la bisectriz.
Por ejemplo, si ponemos los ejes sobre el punto D, y usamos los lados del cuadrado para los ejes, y la unidad de medida como unidad, tenemos que el punto C es (4, 0), E es (3, 0), A es (0,4) y B es (4, 4)
El vector EC sería (1, 0) y el vector EA sería (-3, 4).
Si los normalizamos (los cambiamos de tamaño sin cambiar su dirección o sentido) serían (1, 0) y (-3/5 , 4/5).
Ahora, al sumarlos tendríamos un vector que apuntaría en la dirección de la bisectriz. (2/5, 4/5). Como necesitamos sólo su dirección, lo voy a multiplicar por un valor para simplificarlo: (1, 2).
Con ese vector construimos la ecuación de la recta 2x – y = B, que si queremos que pase por (3, 0) tiene que ser 2x – y = 6.
Ahora, el vector CE es (-1, 0) y el vector CB es (0, 4). Normalizados serían (-1, 0) y (0, 1). Su suma sería (-1, 1) que no se puede simplificar mucho.
La ecuación de la bisectriz sería x + y = B, que si queremos que pase por C (4, 0) será x + y = 4.
Ahora, para cortar las dos rectas, resolvemos el sistema ( 2x – y = 6, x + y = 4) y obtenemos el punto (10/3, ⅔). Ése es el centro, y su distancia a cualquiera de las tres rectas, el radio, que en este caso no hay que darle muchas vueltas, es ⅔.
El método con regla y compás aquí sería muy sencillo, ya que hacer las bisectrices es un proceso muy conocido.
La otra forma de abordar el problema es dibujar todos los radios.
Y establecer las diferentes medidas, ya que sólo hay que fijarse en que si llamamos r al radio, el punto de tangencia horizontal divide al segmento EC en dos, r y 1 – r.
Por la simetría entre las tangentes, este segmento 1 – r está presente también en el triángulo que se forma entre la horizontal y el punto de tangencia oblicuo, y este triángulo tiene una componente vertical que, debido a cuestiones de semejanza con el triángulo EAD, tendrá una componente vertical 4/5 – 4r/5.
Debido a la misma semejanza, vemos que se forma otro triángulo con el radio al punto de tangencia oblicuo, que tiene una hipotenusa de tamaño r y una componente vertical, por semejanza, de 3r/5.
Sumando las dos obtenemos 4/5 – r/5 = r, con lo que 4/5 = 6r/5 y por tanto 4 = 6r, de donde deducimos que r = ⅔.
Otra construcción con regla y compás, por tanto, sería dividir el segmento EC en tres partes iguales, que mide ⅓ cada una de ellas. Levantar una vertical por el punto de los tres más cercano a E, y también hacer una circunferencia centrada en C que pase por ese punto, y ver donde corta al segmento BC. Haciendo una horizontal por ese punto y viendo donde corta a la trazada anteriormente, tendríamos el centro de la circunferencia.
