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Au moment où les Intelligences Artificielles deviennent de plus en plus performantes et (grâce a un apprentissage implicite, sans utiliser de routines ni d’automatismes pré-câblées ou programmées lors de leur conception) parviennent à surpasser des personnes humaines dans de nombreuses tâches complexes, il me parait essentiel que les personnes humaines ne se retrouvent pas confinées à des rôles purement routiniers, mais qu’elles continuent à s’épanouir et à innover en développant autant que possible leur pensée critique, leur esprit scientifique, et leur autonomie d’apprentissage.

C’est pourquoi je suis très inquiet de voir, dans certains programmes d’enseignement, notamment en mathématiques, beaucoup de tâches complexes purement scolaires élevées au rang d’automatismes à acquérir.

Je développe ce sujet ici.

De nombreuses publications de vulgarisation mettent l’accent sur le fait que le principe de ChatGPT repose sur la prédiction du mot suivant le plus probable d’une suite de mots donnée. C’est un peu comme dire que le principe de fonctionnement d’une voiture est de faire tourner les roues à l’aide d’un moteur. La vraie question, au delà de « comment fonctionne le moteur ? », est « pourquoi le moteur fonctionne-t-il ? »

Suite du billet.

L’application ChatGPT réussi à réaliser des tâches qui, lorsqu’elle sont faites par des humains, nécessitent une compréhension en profondeur, non seulement des énoncés décrivant les objectifs à atteindre, mais aussi de certains concepts et principes à utiliser pour atteindre ces objectifs.

Voici un exemple :

On peut admettre que résoudre ce problème ne nécessite pas de comprendre en profondeur ce qu’est une personne, que Mélissandre et Isabeau sont des prénoms, ni ce qu’est un panier garni. Par contre, pour résoudre un tel problème, une personne humaine doit comprendre les concept de somme et de produit et être capable de faire un raisonnement arithmétique pour exprimer et résoudre, ne serait-ce que par tâtonnement, une équation simple.

Ou alors… une personne humaine ayant mémorisé une recette pour résoudre ce type de problème sans comprendre ce qu’elle fait pourrait reconnaitre le type dénoncé, en identifier les variables et paramètres, et les mettre en correspondance les variables et paramètres de la recette. Mais cela reste une tâche complexe qui va très au delà d’une simple reproduction ou imitation.

Pourtant, nombre de voix, dans les média, minimisent les capacités de ChatGPT.

ChatGPT est un perroquet qui répond de manière aléatoire.

Dans un entretien avec Jean-Gabriel Ganascia (chercheur en intelligence artificielle au sein du laboratoire de recherche en informatique de Sorbonne Université) publié dans le journal « Le Point » en janvier 2023.

Il fabrique des textes mot après mot de telle manière que chacun d’entre eux soit suivi des occurrences statistiquement dominantes dans la gigantesque base de données identifiée par ses concepteurs (qui représente plus de 750 000 fois le volume de la Bible)

Philippe Meirieu, professeur honoraire en sciences de l’éducation, dans une tribune publiée le 27 mars 2023 dans le journal « Le Monde ».

Quand on lui fait une demande, on lui donne des séquences de mots en entrée et lui il cherche juste à lui associer les mots qui correspondent les plus probablement mais sans en comprendre le sens. Ça reste une mécanique de réponse très basique.

Vidéo de mars 2023 sur la chaîne Youtube Defakator Vite Fait. « Vite fait : comment fonctionne ChatGPT ?« 

Un algorithme extraordinairement complexe et qui est extraordinairement efficace pour réaliser une tâche extraordinairement dérisoire, au fond : prédire le prochain mot d’un texte. Ou plus exactement, à partir d’une séquence de mots, donner une distribution de probabilité de ce que pourrait être le prochain mot. Voilà, c’est tout.

Monsieur Phi, philosophe, vulgarisateur scientifique, dans une vidéo de janvier 2023 intitulée « De quoi ChatGPT est-il vraiment capable ? » sur sa chaîne de Youtube.

Peut-on mettre ces affirmations en cohérence avec l’exemple suivant :

Le mot « devanteil » désigne un tablier en patois Bourguignon. Il est plus qu’improbable que ce mot figure à proximité des mots « fiche banane » et « bouton de manchettes » dans le corpus d’apprentissage de ChatGPT. Et en cas de doute, on peut utiliser d’autres noms d’objet inusités, ou même complètement inventés, et constater que le Truc donne une réponse correcte à la question posée.

Il est clair que la réponse obtenue ne peut être construite par une suite de mots ayant des occurrences statistiquement dominantes dans un corpus d’apprentissage plausible.

La quatrième citation nous dit que ChatGPT, à partir d’une séquence de mots, « donne une distribution de probabilité de ce que pourrait être le prochain mot ». Mais elle ne présume pas du mode de calcul de cette probabilité, ce qui évite une simplification qui, dans les citations précédentes, occulte un point absolument essentiel.

OUI, ChatGPT produit une distribution de probabilités de ce que pourrait être le prochain mot d’une séquence, comme le dit M. Phi.

MAIS attention, cette distribution de probabilités ne résulte pas directement d’une analyse statistique de séquences comportant ce mot dans le corpus d’apprentissage. Lors de son apprentissage, ChatGPT, comme toutes les IA basées sur les réseaux de neurones profonds, crée un modèle (techniquement, un instance de modèle) extrêmement complexe, dont personne à l’heure actuelle ne comprend comment il organise ses connaissances (Les IA de ce type sont le résultats de recherches essentiellement empiriques). Ce modèle est constitué de milliards de paramètres dont les valeurs ont été fixées lors de l’entraînement de l’IA. S’il est difficile de dire ce qu’est ce modèle, on peut en tout cas dire ce qu’il n’est pas : ce n’est pas une représentation littérale du corpus d’apprentissage, ce n’est pas le résultat d’un apprentissage par cœur de ce corpus, ce n’est pas un arbre de décision.

Ce modèle fait montre d’une remarquable capacité à généraliser ses données d’apprentissage pour résoudre des problèmes basés sur des données différentes de celles incluses dans le corpus d’apprentissage.

Certaines IA basées sur des réseaux de neurones profonds s’avèrent capables de faire des choses qu’on ne leur a pas apprises explicitement. Par exemple, on peut entrainer des IA à réparer des photos de chats ayant été dégradées, et ensuite non seulement leur faire réparer des photos de chats dont elles n’ont jamais vu l’original, mais aussi leur faire créer de toutes pièces, à partir d’images d’entrée représentant un bruit aléatoire, des chats parfaitement plausibles.

C’est ce qui semble se passer avec ChatGPT. Le jeu d’apprentissage est constitué de couples $(s,m)$ où $s$ est une séquence de mots dans un texte du corpus et $m$ le mot situé immédiatement après $s$. La fonction $p$ effectivement apprise associe à toute séquence $s$ du jeu d’apprentissage un vecteur de probabilité $p(s)$ dans lequel le mot qui suit la séquence $s$ a une probabilité 1 et tous les autres mots du corpus une probabilité 0.

Mais une fois entraîné, le système peut accepter en entrée tous les textes possibles et imaginables. Quand on l’interroge, on lui demande d’appliquer à notre question (suivie de la partie déjà produite de la réponse) une fonction de prédiction $P$ qui est une généralisation de la fonction $p$ que le Truc a effectivement appris à calculer lors de son entraînement. Le vecteur de sortie associé par la fonction $P$ à une séquence d’entrée ne faisant pas partie du jeu d’apprentissage ne sélectionne pas un unique mot avec une probabilité 1, mais attribue des probabilités à différents mots du corpus. C’est ce qui permet au Truc de donner des réponses différentes à une même question.

Aucune connaissance scientifique ne permet d’affirmer que les réponses produites sont « intelligentes » d’autant que ce terme est un mot fourre-tout aux contours flous, ayant une connotation anthropocentrique. Mais aucune base scientifique ne permet de présumer que cette fonction produit des séquences de mots sans aucune profondeur, ou des textes construits à partir de mots choisis de manière purement statistique, et encore moins de dire que ChatGPT est un perroquet stochastique. Il faut comprendre que la fonction de prédiction $P$ n’est pas calculée par une formule de statistique d’origine humaine, mais par une formule qui a émergé du processus d’apprentissage et qui ne peut être ni explicitée, ni comprise par des êtres humains. On ne peut donc pas prétendre qu’elle se limite à traduire des corrélations entre mots et séquences de mot.

L’hypothèse qui me parait la plus plausible au moment où j’écris ces lignes (susceptible d’être révisée car il faut être humble face à la complexité de ce qui se passe dans un réseau de neurones artificiels de grande taille) est que ChatGPT ne peut satisfaire les contraintes qui lui sont imposées lors de son apprentissage qu’en produisant un modèle de représentation et d’exploitation des connaissances qui capture, d’une certaine façon, non seulement les règles de grammaire de différents langages (naturels et informatiques), mais aussi certains éléments de la structure, de la logique, et de la sémantique sous-jacentes à de nombreux textes écrits dans ces langages. Ces méta-connaissances ne sont pas représentées explicitement. Elles sont intriquées dans la masse des paramètres des réseaux de neurones artificiels qui leur servent de support. Mais elles s’expriment lors de l’utilisation du système parce que leur décodage fait partie des capacités acquises lors de sa phase d’apprentissage.

Certains résultats obtenus avec ChatGPT me laissent penser que le modèle qui a émergé de son entraînement lui permet de transposer certains modes de raisonnements explicités dans son corpus d’apprentissage à des problèmes présentés avec des mots différents et des valeurs numériques différentes de celles exprimées dans ce corpus, mais aussi à combiner des savoir-faire issus de différentes sources du corpus. Voici un exemple :

Dans cet exercice, je détourne complètement le concept de groseille, qui devient un animal à trois pattes, tout en brouillant les pistes en parlant d’une planète sortie de mon imagination. Pourtant, ChatGPT réussi à résoudre le problème alors qu’on peut raisonnablement supposer que dans son corpus d’apprentissage, les groseilles n’ont pas de pattes et ne pèsent pas 500 grammes. Il y a une aspérité dans l’explication, plus précisément dans la deuxième phrase du raisonnement, où le mot « pèse » devrait être remplacé par « représente ». Par ailleurs, rien ne permet d’affirmer que le Truc a effectivement procédé de la manière dont il l’explique pour produire le résultat, mais la démarche décrite est cohérente et le résultat est exact.

Le point important est que la démarche de résolution de ce problème (comme celle permettant à l’engin d’en résoudre de nombreux autres) ne provient pas des algorithmes implémentés dans le système par ses concepteurs. Elle provient de documents appartement au corpus d’apprentissage et de rétroactions humaines réalisées lors de certaines phases de l’entraînement de ChatGPT.

Voilà ce qu’en a dit ChatGPT 4 lorsque je l’ai interrogé à ce sujet après m’être forgé cette opinion et avoir écrit ce qui précède. Quand mien même, en toute hypothèse, ce texte refléterait plus l’avis des personnes ayant créé ChatGPT que de l’engin lui-même, il ne serait pas à prendre à la légère.

Le but ici n’est pas de multiplier les exemples. Il est toujours possible d’en trouver, même assez facilement, qui donnent des résultats faux, voire incohérents. Le modèle sous-jacent à ChatGPT ne permet en aucun cas de capturer toutes les informations contenues dans son corpus d’apprentissage, et la nature même du mode de représentation des connaissances utilisé ne donne aucune garantie de fiabilité, cohérence et exactitude des productions de l’engin.

Il existe par ailleurs des limites théoriques des capacités d’inférences, donc de déduction, du Truc. Ces limites sont liées à la notion d’irréductibilité algorithmique, comme le mentionne Stephen Wolfram dans ce billet.

Mais je ne peux pas, en toute conscience, affirmer que ChatGPT ne comprend rien à ce qu’il écrit. Je pense, au contraire, que l’engin peut faire preuve, dans certains contextes, d’une forme de compréhension qui lui permet de produire des résultats cohérents lorsqu’on lui demande de traiter des problèmes présentant certaines différences avec ceux figurant dans son corpus d’apprentissage.

Je pense qu’il faudra beaucoup de temps et de recul pour cerner les capacités et les limites des IA génératives telles que ChatGPT. Mais si l’intelligence de ces systèmes peut être discutée, on ne peut nier que ChatGPT a certaines compétences, qu’il convient d’évaluer au cas par cas, sans apriori, dans ses différents domaines d’application.

J’enseigne la programmation et l’algorithmique depuis 30 ans à des niveaux allant de bac+1 à bac+5 et j’estime que l’engin a des compétences de bon niveau troisième année de licence d’informatique universitaire. Concrètement, il est capable de traiter des exercices originaux présentés de la même manière que dans mes sujets d’examens et de donner, souvent, des réponses correctes et remarquablement bien expliquées.

Prolog et ChatGPT sont des outils relevant de deux champs de l’intelligence artificielle : l’IA basée sur l’automatisation du raisonnement et celle basée sur des réseaux de neurones profonds. Il est très difficile de leur trouver des points communs, si ce n’est l’intention initiale de permettre le traitement du langage naturel, mais avec des approches complètement différentes.

Les possibilités des deux engins sont on ne peut plus différentes, mais m’ont complètement stupéfié au moment où j’en ai eu connaissance à 35 ans d’intervalle.

Dans ce billet, je détaille des expériences consistant à demander à ChatGPT de créer, expliquer, et même traduire des programmes Prolog dans un autre langage de programmation. Ce sont des tâches pouvant être réalisées par des étudiantes et étudiants en informatique de niveau bac+3, mais seulement si ces personnes ont acquis des compétences supposant une compréhension en profondeur de certains concepts et de certains principes.

L’article est un peu technique pour une personne n’ayant pas de base en programmation (codage), mais la conclusion est plus accessible.

Sans connaître le mot, j’ai réalisé un jour qu’une grande partie des plus de 10000 heures que j’ai passées dans des établissements d’enseignement avant le bac relevaient du présentéisme. Pendant ces moments interminables de présence imposée, je ne percevais qu’un vague écho de ce que disaient les enseignantes et enseignants et mon esprit vagabondait.

Un jour, quand l’homme sera sage, Lorsqu’on n’instruira plus les oiseaux par la cage,…

[Victor Hugo, Les contemplations]

Il arrivait, cependant, que toute mon attention soit captée par un cours, que je ressente le bonheur de comprendre une notion, un principe, d’en capturer la logique, et surtout l’envie de l’utiliser, hors du contexte scolaire, pour résoudre des problèmes, créer des textes, inventer des machines, ou découvrir par moi même de nouvelles connaissances. Mais ces moments de grâce ne représentaient qu’un petit fragment de mon temps scolaire.

Plus tard, devenu enseignant, je me suis beaucoup investi dans la recherche d’approches pédagogiques plus efficaces que celles avec lesquelles j’avais été formé. Mon premier objectif était de conduire plus d’étudiantes et d’étudiants vers la réussite, mais au delà, je me suis mis à rêver d’un système éducatif où les élèves passeraient moins de temps enfermés dans des salles de classes.

Pendant des décennies de fréquentation d’établissements d’enseignement, d’abord comme élève, puis comme enseignant, j’ai été partagé entre le plaisir d’apprendre, de transmettre, et la frustration d’être coincé dans le carcan de l’unité de temps et de lieu de l’enseignement traditionnel.

Aujourd’hui, je suis convaincu que l’objectif le plus noble qui soit est de conduire les personnes apprenantes vers l’autonomie d’apprentissage. En rendant les gens capables d’apprendre par eux-mêmes, et en mettant à leur disposition toutes les ressources idoines, on leur donne accès aux bénéfices de l’acquisition des savoirs en restreignant aussi peu que possible leurs libertés.

C’est pourquoi je plaide pour que la progression dans l’autonomie d’apprentissage, à tout âge, soit considéré comme un objectif à part entière, pris en compte dans les critères d’évaluation des méthodes et pratiques d’enseignement. Transmettre des connaissances et des compétences, c’est bien, et c’est nécessaire car les enfants ne peuvent être autonomes dès leur plus jeune âge. Mais amener ces mêmes enfants, et à fortiori les personnes plus âgées, vers la plus grande autonomie d’apprentissage possible, c’est encore mieux.

Ce que je défends n’est pas d’obliger les gens à apprendre seuls, connecté à des machines, sans contact avec d’autres humains, mais de leur offrir, tout au long de leur vie, plus de choix, plus de liberté en matière de postures et contextes d’apprentissage, et de leur permettre, toutes choses étant égales par ailleurs, de limiter leur temps de présence non indispensable et non souhaitée en classe. L’enseignement en présence doit être considéré comme un moyen de transmission des savoirs, en aucun cas comme un objectif en soi.

Je ne m’attends pas à ce que chaque personne atteigne au même âge un même niveau d’autonomie. Mais je ne vois pas de raison d’imposer des contraintes scolaires à celles et ceux qui n’ont pas besoin d’un accompagnement soutenu pour exploiter pleinement leur potentiel. Je ne m’attends pas non plus à ce qu’une majorité de personnes puisse tout apprendre sans aucune aide. Il ya un immense espace de possibilités entre laisser les gens complètement livrés à eux-mêmes et les obliger à passer des milliers d’heures confinés dans des classes de 30 élèves.

Au cours de ma scolarité et de mes études supérieures, j’ai été confronté aux deux approches, souvent utilisées conjointement. Je relate ici quatre situations vécues montrant certains avantages et inconvénients d’un enseignement implicite et d’un enseignement explicite.

Quatre exemples

Un souvenir merveilleux d’enseignement par la découverte

J’étais au lycée, en classe de première technique spécialité électronique. Un matin d’automne, en cours de technologie, l’enseignant nous distribue une feuille sur laquelle est imprimé un schéma comportant une dizaine de composants (résistances, comparateur, compteur, bouton poussoir…), sans aucune explication. Il nous demande de déterminer ce que réalise le bloc fonctionnel représenté par ce schéma.

Mon cerveau entre dans une phase de réflexion intensive, il analyse, décompose, fait des hypothèses, les vérifie. En quelques minutes, je parviens à reconstituer la séquence de fonctionnement, le rôle de chaque composant et tout s’éclaire. Le moment est fantastique, gratifiant. J’en garde un souvenir formidable. Je pense que ce type de réussites a contribué à me donner confiance en moi, m’a incité à approfondir mes connaissances, à m’investir dans mes études, mais aussi à aller au delà des programmes d’enseignement en créant mes propres schémas. 

C’est une chose de comprendre l’explication donnée par un enseignant. C’en est une autre, autrement plus jubilatoire, que de parvenir à trouver soi-même la solution d’un problème complexe.

Un souvenir d’enseignement implicite catastrophique

J’ignore si les méthodes d’enseignement des langues pratiquées dans les années 1980 sont catégorisées par les spécialistes comme pédagogie par la découverte, mais le fait est que mes enseignantes s’exprimaient uniquement, depuis le premier cours, dans la langue enseignée et que les élèves devaient découvrir par eux mêmes le sens des mots et phrases prononcées.

Je me rappelle avoir passé, durant mes années collège, des centaines d’heures en classe de langue sans jamais vraiment comprendre ce que disait l’enseignante. Des heures perdues, d’autant plus frustrantes que je voyais d’autres élèves comprendre, répondre aux questions, progresser, alors même que je ne savais même pas à quelle page ouvrir mon livre parce que l’information nous était donnée oralement dans une langue que je ne parvenais pas à déchiffrer. Je parvenais à décoder un peu les écrits, mais les mots étaient comme du bruit.

Un souvenir d’enseignement explicite infructueux

À l’école primaire, on m’a enseigné à réaliser des divisions euclidiennes de manière très explicite, en appliquant une recette, présentée étape par étape, à grand renfort d’exemples, suivis de nombreux exercices de difficulté croissante. Mais je n’ai jamais réussi à maîtriser cette technique de division de manière fluide.

Même aujourd’hui, à 58 ans, je ne réalise pas une telle opération de manière fluide, alors que je suis docteur et enseignant chercheur universitaire en informatique. Pourquoi ? Peut-être parce que j’ai toujours trouvé rébarbative la réalisation de choses répétitives à base de recettes, surtout lorsque j’étais enfermé des journées durant dans une salle de classe, et que par la suite, je n’ai jamais vraiment eu besoin de réaliser des divisions euclidiennes à la main.

D’une manière générale, la plupart des des enseignements de mathématiques que j’ai reçu étaient très explicites, mais m’ont paru peu passionnants, par comparaison à tout ce que je pouvais créer, découvrir, inventer, réaliser dans en dehors des murs de l’école.

Un souvenir d’enseignement explicite captivant

C’était en licence d’informatique, dans les années 1990. Mon enseignement préféré était un cours de langages formels dispensé de manière très explicite. Je découvrais un domaine complètement nouveau, insoupçonné, à un rythme qui me permettait de comprendre en temps réel ce que disait l’enseignant, et donc de rester engagé, et même captivé.

J’étais « mûr » pour suivre ce cours, au rythme où il était dispensé, et j’avais les prérequis et capacités pour m’approprier intellectuellement les notions introduites. Mais au sein d’une cohorte de personnes apprenante suivant un même enseignement, les différences de niveaux, prérequis et vitesses d’apprentissage sont considérables. Ce rythme d’enseignement idéal pour moi était donc nécessairement trop rapide pour certains et certaines de mes condisciples, à qui ce cours a sans doute été beaucoup moins profitable.

Quelques réflexions inspirées par ces exemples

Je comprends que la pédagogie par la découverte soit moins efficace qu’un enseignement plus explicite pour obtenir rapidement des résultats avec une cohorte d’élèves de niveaux très différents, et aussi qu’elle puisse être contre-productive en décourageant certaines personnes apprenantes. C’est précisément ce qui m’est arrivé avec l’allemand et l’anglais, et qui m’a conduit à prendre en grippe ces deux matières. Mais si, lorsque les conditions sont réalisées pour qu’elle fonctionne, cette pédagogie peut porter très haut le plaisir d’apprendre, produire des souvenirs inoubliables, et susciter des vocations, alors peut être ne faut-il pas la rejeter complètement, mais plutôt l’utiliser à bon escient, en complément d’une pédagogie plus explicite.

La vraie question est celle des objectifs du système éducatif auquel on se réfère. Si on souhaite un système éducatif très normatif dont l’idéal est de transmettre les mêmes compétences et connaissances à tous les enfants d’un même âge, en supposant qu’un tel objectif soit réaliste, alors la pédagogie par découverte est clairement peu pertinente. 

Mais si on change de perspective en souhaitant que chaque personne progresse au mieux de ses capacités dans l’acquisition des connaissances et compétences essentielles tout en développant ses talents personnels et son autonomie, alors la différenciation des objectifs devient une évidence et la différenciation des approches pédagogiques doit être considérée sous un jour nouveau. Un jour sous lequel la diversité ne concerne pas uniquement les origines des élèves, mais aussi leur évolution, leurs aspirations, les savoirs qui leur sont transmis, et sous lequel la qualité des enseignements dispensés ne peut se réduire à un indicateur chiffré.

Jusqu’à une époque récente, une différenciation des objectifs d’apprentissage – sans parler de  faire bénéficier certaines personnes apprenantes d’activités basées sur des pédagogies spécifiques – était virtuellement inenvisageable dans un contexte d’enseignement de masse. Mais je suis convaincu que les technologies numériques, dont le potentiel pédagogique reste encore largement à défricher, peuvent radicalement changer la donne, non pas en se substituant aux enseignantes et aux enseignants, mais en les libérant de certaines tâches répétitives et mécaniques pour leur permettre de consacrer plus de temps au suivi des élèves. C’est un sujet que je développerai dans un prochain billet.

Les mathématiques, c’est quoi ?

En l’état actuel de ma compréhension (je suis une personne de 58 ans, docteur en informatique, habilité à diriger des recherches, enseignant chercheur universitaire en informatique), la science mathématique s’intéresse à deux sortes d’objets :

• des objets purement syntaxiques, constitués de suites de symboles pouvant être écrites par exemple sur papier ou écran,
• des objets immatériels, abstraits, tels que des nombres, des ensembles, des relations, des fonctions, des injections, des surjections, des espaces vectoriels, des structures algébriques, des groupes, des morphismes, etc. etc. etc.

Les objets mathématiques abstraits peuvent être nommés, identifiés, voire représentés par des expressions écrites en langage mathématique. Toutefois, les représentations d’objets mathématiques abstraits en langage mathématique ne sont généralement pas des objets mathématiques purement syntaxiques. Cette nuance est extrêmement difficile à comprendre. Il m’a fallu des décennies pour la saisir et je ne suis pas certain de l’avoir complètement cernée.

Par exemple :

• La notation $\mathbb{N}$ n’est pas en elle-même un objet mathématique. C’est la désignation standard de l’ensemble des entiers naturels, qui est un objet mathématique abstrait.
• L’expression $s(s(z))$ peut être considéré comme un objet mathématique purement syntaxique, dès lors que les symboles $s$ et $z$ n’ont pas de sens standardisé dans le contexte où on les utilise.
• En revanche, si $s$ désigne la fonction de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ qui à tout $x$ associe son successeur, et si $z$ désigne l’entier 0, alors cette même expression $s(s(z))$ est une représentation de l’entier naturel généralement désigné par le symbole 2. On peut dire que l’entier 2 est une des interprétations possibles du terme formel, c’est à dire de l’objet mathématique purement syntaxique, $s(s(z))$.

Les mathématiciennes et mathématiciens s’intéressent aux propriétés des objets mathématiques abstraits. Iels expriment ces propriétés avec des énoncés mathématiques. Un tel énoncé est soit vrai, soit faux.

Lorsque ces énoncés expriment des propriétés qui contribuent à spécifier un ou plusieurs objets mathématiques, on les appelle axiomes. Lorsqu’ils expriment des propriétés qui ont été déduites d’un ensemble d’axiomes, on les appelle des théorèmes.

On peut coder les énoncés (donc les axiomes et les théorèmes), mais aussi les déductions et les preuves, avec des objets mathématiques purement syntaxiques, et s’appuyer sur une telle formalisation pour modéliser mathématiquement… le raisonnement mathématique. On « jongle » alors avec plusieurs niveaux d’abstraction.

Par exemple, voici un énoncé exprimé en français :

La somme de deux entiers naturels impairs est toujours un entier naturel pair.

Cet énoncé comporte beaucoup d’information implicite. Pour en saisir le sens, il faut comprendre en profondeur ce qu’est un entier naturel, la somme de deux entiers naturels, un entier naturel pair et un entier naturel impair.

Voici une reformulation plus détaillée :

Pour tout $x \in \mathbb{N}$ et pour tout $y \in \mathbb{N}$, si il existe $t \in \mathbb{N}$ et $u \in \mathbb{N}$ tels que $x = 2t + 1$ et $y = 2u +1$, alors il existe $s \in \mathbb{N}$ tel que $x+y = 2s$.

Dans cette deuxième version, seuls les symboles $x, y, t, u, s$, appelés variables, sont des objets mathématiques purement syntaxiques ayant une infinité d’interprétations. Chacune de ces interprétations met en relation chaque variable avec un objet mathématique abstrait. La notation « $\in \mathbb{N}$ » restreint ces interprétations aux entiers naturels. Les autres symboles sont des notations standards désignant chacune un unique objet mathématique abstrait. Par exemple, $+$ désigne une fonction particulière de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$, appelée addition standard, et $=$ désigne la relation identité sur $\mathbb{N}$.

Cet énoncé peut être codé à l’aide d’objets mathématiques purement syntaxiques appartenant au langage arithmétique de Peano, ce qui donne :

$\forall x \forall y$ $($ $\exists u$ $($ $\text{add}(\text{mul}(\text{succ}(\text{succ}(\text{zero}))),u)$ $,$ $\text{succ}(\text{zero})$ $)$ $=$ $x$ $\wedge$ $\exists t$ $($ $\text{add}(\text{mul}(\text{succ}(\text{succ}(\text{zero}))),t)$ $,$ $\text{succ}(\text{zero})$ $)$ $=$ $y$ $)$ $\to$ $($ $\exists s$ $($ $\text{add}(x,y)$ $=$ $\text{mul}(\text{succ}(\text{succ}(\text{zero})),s)$ $)$

Cette troisième version de l’énoncé est un objet mathématique purement syntaxique, qui peut être interprété d’une infinité de façons différentes, bien que certains symboles, comme $\exists$ et $\wedge$, aient une interprétation standard définie dans le cadre de la logique. On peut prouver « mécaniquement » que la propriété encodée est une conséquence logique d’un ensemble d’axiomes qui modélisent la notion de successeur, l’addition et la multiplication d’entiers naturels. Les axiomes de départ restreignent les interprétations des symboles $\text{add}$, $\text{mul}$ et $\text{succ}$.

Typiquement, la démarche de recherche en mathématiques consiste à partir d’axiomes spécifiant certaines propriétés d’objets mathématiques, puis à réaliser des déductions qui aboutissent à des théorèmes qui sont vrais pour tous les objets mathématiques vérifiant les axiomes de départ. On appelle preuve d’un théorème la suite de déductions aboutissant à ce théorème.

Ce n’est qu’au vingtième siècle (à ma connaissance) que la communauté mathématique a réalisé qu’en considérant les énoncés, déductions et preuves comme des objets mathématiques à part entière, on pouvait mettre en abîme les mathématiques en s’appuyant sur le formalisme de la logique. C’est à dire qu’on pouvait, par exemple, construire des énoncés dont les variables représentent des énoncés, des déductions ou des preuves, et prouver que certaines méthodes de preuves produisent toujours des conséquences logiques des axiomes de départ. C’est à ce moment là que Kurt Gödel a démontré qu’aucun ensemble « exploitable » d’axiomes ne permettait de prouver tous les énoncés vrais formalisant les propriétés arithmétiques, mêmes celles pouvant s’exprimer uniquement avec des additions et multiplications sur les entiers naturels.

Un autre but des mathématiciennes et des mathématiciens est de produire des méthodes de calcul permettant de résoudre certains problèmes de manière efficace et automatisable, ce qui nous amène aux domaines d’utilisation et d’application des mathématiques.

Domaines d’utilisation

Beaucoup de systèmes complexes, dans de nombreux domaines techniques et scientifiques, peuvent être modélisés par des objets mathématiques, ce qui permet, grâce à des calculs, de prévoir leur comportement ou, si applicable, de déterminer les configurations et paramètres permettant d’obtenir un comportement particulier.

Les applications sont multiples, dans les domaines les plus variés tels que la physique, la chimie, l’informatique, l’électronique, la finance, l’économie, les transports, les télécommunications, l’informatique, la biologie, la médecine, la météorologie, l’exploration spatiale, l’architecture, etc.

Toutefois, bien que les mathématiques y aient un rôle crucial , une toute petite proportion des personnes travaillant dans tous ces domaines doivent réellement maîtriser les fondements des concepts et outils mathématiques qui y sont utilisés. Les autres personnes exploitent, dans le cadre de leurs activités professionnelles, des formules, des abaques, des applications ou des procédures standardisées qui ne requièrent pas de maîtriser la théorie sous-jacente.

De fait, une très grande partie des savoirs mathématiques abordés lors des cursus scolaires et d’enseignement supérieur ne seront pas utilisés dans un contexte professionnel par la plupart des personnes ayant suivis ces cursus. Ceci n’implique pas que l’enseignement de ces savoirs soit inutile, mais simplement que, pour la plupart des gens, l’utilité de ces enseignements, si applicable, est ailleurs.

Par exemple, je découvre (je l’avoue, avec une certaine stupéfaction) au moment où j’écris ces lignes que l’étude des polynômes de degré 3 (tableau de variation, extremums, nombre de solutions…) est au programme de toutes les classes de terminales de bac professionnel. Il est parfaitement clair que, sauf extraordinaire exception, aucun paysagiste, mécanicien automobile, gérant de commerce ou de restaurant n’aura à mettre en application de telles connaissances dans le cadre de son activité professionnelle. Pour ces personnes, l’utilité d’un tel savoir, si applicable, ne peut être qu’indirecte.

Dans le même programme commun à tous les bac pro, « le calcul du terme de rang donné d’une suite arithmétique dont le premier terme et la raison sont donnés » doit faire l’objet d’un entraînement régulier, sous forme « d’activités rituelles » jusqu’à devenir un automatisme. Si cet objectif semble largement atteignable par une très grande majorité des élèves concernés, il me parait excessivement peu probable que ces personnes aient l’occasion d’exploiter un tel automatisme dans le cadre de leur futur métier. Encore une foi, il faut chercher ailleurs l’utilité d’un tel enseignement. Je reviendrai sur ce point à la fin de ce billet.

Petite anecdote, au moment ou j’ai écris le paragraphe précédent, je n’avais pas en tête un quelconque automatisme permettant de calculer le terme de rang donné d’une suite arithmétique dont le premier terme et la raison sont donnés. Je n’ai d’ailleurs jamais participé à des rituels destinés à automatiser ce genre de calcul. Toutefois, j’ai trouvé la solution en moins d’une minute, avec une simple feuille de brouillon et un crayon.

J’ai retrouvé la définition d’une suite arithmétique en réactivant une connaissance ancienne, mais j’ai construit la formule par la réflexion, car à l’époque où la notion avait été abordée dans mon cursus scolaire, ce genre de chose me barbait tellement que je n’avais même pas essayé de la retenir.

Utilisations dans la vie quotidienne

Je vous propose une petite expérience. Essayez de vous rappeler et de recenser les occasions d’utilisation des mathématiques votre vie quotidienne, hors vie professionnelle, hors assistance aux devoirs d’enfants scolarisés ou personnes suivant une formation, et hors loisirs mathématiques ou mathématiques récréatives.

Je me prête au jeu et j’obtiens la liste suivante, non exhaustive mais, je pense, assez représentative.

• Je fais régulièrement appel à ma compréhension de la notion de proportionnalité, notamment pour calculer des pourcentages me permettant de comparer des proportions.
• J’utilise des additions et soustractions pour gérer mes comptes bancaires et mon budget.
• Je fais des calculs combinatoires pour déterminer le niveau de sécurité d’un code secret, d’un cadenas à chiffres, d’un mot de passe…
• J’utilise la notion de rapport, ou quotient, pour comparer des ordres de grandeurs, par exemple dans le domaine de la consommation d’énergie lors des activité quotidiennes (chauffage, eau chaude, déplacements…)
• Les notions d’aire, de multiplication et de racine carrée m’ont permis de mieux visualiser ce que représentent les 8000 hectares de forêt décimés par un incendie dans une région de France.
• Les fonctions puissances et les suites géométriques me permettent de mieux appréhender la notion de croissance exponentielle qui intervient notamment dans certaines phases des épidémies.
• Les fonctions affines par morceaux me permettent de comprendre comment est calculé mon impôt sur le revenu et pourquoi je ne peux pas perdre d’argent en changeant de tranche d’imposition.
• La composition multiplicative de plusieurs facteurs et la notion de probabilité me permettent de comparer les risques de transmission du virus de la CoVid selon le contexte et les précautions prises, et notamment le lien entre ce risque et la concentration de CO2 en intérieur.
• La notion de probabilité conditionnelle me permet d’avoir un regard nuancé sur certains phénomènes de société, par exemple en faisant bien la distinction entre la proportion d’hommes parmi les personnes emprisonnées et la proportion de personne purgeant une peine de prison parmi celles appartenant à la gent masculine.
• Mes quelques connaissances en statistiques et probabilités me permettent de comprendre qu’être témoin d’un évènement, et à fortiori être informé par la presse d’un évènement, n’implique pas que cet évènement soit probable, et qu’inversement, ne jamais avoir été témoins d’un évènement n’implique pas qu’il soit très improbable. D’une manière générale, mes connaissances en probabilités et statistiques, bien que limitées, me permettent de prendre du recul vis à vis des informations données par la presse et des affirmations (parfois mensongères) vues sur les réseaux sociaux ou entendues dans mon entourage.
• Le raisonnement logique m’est utile quotidiennement, pour toutes mes réflexions.

Il ressort de cette liste deux choses remarquables.

1. Une partie des notions de mathématiques étudiées durant ma scolarité me sont utiles dans la vie quotidienne, bien qu’à un niveau technique nettement inférieur à celui auxquelles ces notions ont été abordées en classe. Je réalise parfois quelques calculs simples, mais c’est surtout une compréhension en profondeur des notions concernées qui m’est utile pour mieux organiser, relier, interpréter les informations que je reçois.
2. Beaucoup de notions de mathématiques étudiées durant ma scolarité ne m’ont jamais été directement utiles dans la vie quotidienne. C’est le cas par exemple de de la continuité, des dérivées et primitives, du calcul intégral, de la trigonométrie, des espaces vectoriels, de l’analyse de fonctions continues, des nombres complexes, des techniques de calcul de convergence de suites numériques…

Les mathématiques à l’école

Pourquoi faut-il enseigner les mathématiques à l’école, au collège, au lycée, et au delà ? Quelles notions doivent-être abordées, quand, et comment, avec quels objectifs ? Ces questions ne sont pas nouvelles. Elles sont même au coeur des préoccupations de millions de décideuses, décideurs, enseignantes, enseignants, entrepreneuses, entrepreneurs, et autres personnes. Mais les réponses apportées me laissent parfois un peu perplexe. Voici l’état actuel de mes réflexions, en tant qu’ancien élève, qu’enseignant universitaire et que citoyen.

1 – Kit de survie

Certaines compétences sont indispensables pour faire face aux problèmes et activités de la vie quotidienne comme par exemple comprendre ce qu’est une quantité discrète ou continue, une addition, une multiplication, une proportionnalité, un pourcentage, les unités de longueur, surfaces, volumes, et la capacité à mettre en pratique ces connaissances en réalisant des calculs simples, en utilisant une calculette, et même à la main ou de tête, au moins pour des petites valeurs (inférieures à 100) ou des valeurs arrondies (à deux chiffres significatifs).

Tous les outils mathématiques couramment utilisés dans les activités quotidiennes, telles que faire ses courses, gérer un budget, prévoir les quantités de boisson et nourriture pour une fête d’anniversaire ou une randonnée, détecter une erreur importante sur une facture, doivent évidemment être enseignés dès que possible. Je pense que ce point fait consensus.

2 – Prendre du recul

Certains concepts mathématiques nous permettent de comprendre ou d’améliorer notre compréhension du monde dans lequel nous vivons et peuvent nous aider à prendre des décisions et à nous forger des opinions. Je pense notamment aux probabilités et statistiques, aux probabilités conditionnelles, aux fonctions puissances, linéaires, polynomiales, logarithmes, au calcul combinatoire. Certaines bases mathématiques, notamment, son nécessaires pour assimiler des notions de physique, par exemple liée aux concepts de puissance et d’énergie, qui ont une importance considérable dans notre quotidien.

J’estime nécessaire que ces notions soient enseignées à toutes et à tous, pas dans le but de créer des automatismes, ni de permettre aux gens de réaliser des calculs complexes, mais plus dans un esprit de vulgarisation scientifique.

3 – Apprendre à penser

Je pense qu’il s’agit d’un rôle crucial de l’enseignement des mathématiques : amener les élèves à développer leurs capacités de déduction, d’analyse, de généralisation, d’abstraction, leur capacité à exploiter des techniques, des outils, des principes connus pour résoudre des problèmes qu’iels n’ont encore jamais rencontré, et à cultiver leur curiosité et leur exigence et leur rigueur intellectuelles.

Ces qualités et compétences permettent, tout au long de la vie, d’atteindre des objectifs ambitieux et gratifiants, comme réussir des études supérieures, accéder à des métiers intéressants et à des postes bien rémunérés (ou pas !), contribuer à l’amélioration des conditions de vie des gens…

Sauf que l’idée que nos capacités à résoudre des problèmes mathématiques sont transférables à d’autres domaines pourrait-être un neuromythe. Je cite un tweet de Jean-François Parmentier, chercheur associé sur le numérique pour l’éducation à l’IRIT Toulouse, que j’ai lu après avoir écrit ce billet :

…enseigner les maths apprend à être rigoureux… en math ! Et pas à acquérir un compétence magique de « rigueur de raisonnement ». Il n’y a PAS de transfert entre savoir raisonner dans un domaine (échec, math, latin, …) et savoir raisonner dans un autre domaine.

4 – Outils pour d’autres matières

Certains outils mathématiques sont des prérequis pour les objectifs d’enseignement d’autres disciplines, comme par exemple la physique, la chimie, la biologie, la géographie, l’économie.

5 – Acquérir des compétences professionnelles

Bien évidemment, dans les formations professionnelles à des métiers qui utilisent des outils mathématiques (modélisation, calcul), il est indispensable de transmettre aux élèves les compétences liées à l’utilisation de ces outils.

6 – Développer les talents

Tout le monde n’a pas vocation à devenir mathématicienne ou mathématicien, ni à s’orienter vers des domaines nécessitant un niveau élevé en mathématiques. Mais on peut penser que la découverte des mathématiques dès l’enfance, ou l’intérêt suscité par cette matière lors de l’adolescence, peut permettre à certaines personnes de prendre conscience de leur potentiel et les amener à choisir une voie à laquelle elles n’auraient pas songé si elle n’avaient pas eu l’occasion de découvrir certains aspects des mathématiques lors de leur scolarité.

7 – Culture scientifique

Les mathématiques font partie du patrimoine immatériel de l’humanité, au même titre que les grandes oeuvres littéraires, musicales, et de tous les autres domaines de la connaissance. À ce titre, de nombreux éléments de mathématiques devraient être considérés comme appartenant à la culture générale. Je pense, par exemple, au théorème de Pythagore, à certains ensembles de nombres tels que les naturels, les réels, les rationnels, les irrationnels, les complexes, au nombre Pi, à la trigonométrie, à ce qui touche à la notion d’infini et d’ensembles dénombrables ou non dénombrables, ou encore à la démarche axiomatique. Une telle culture peut s’acquérir tout au long de la vie et être très différente d’une personne à l’autre. Il ne faut pas confondre culture générale et culture universelle. Dans le cadre scolaire, elle pourrait être abordée, à tous niveaux, dans des enseignements d’histoire des sciences.

Mon regard sur les objectifs

J’en arrive à la conclusion qu’il y a de très bonnes raisons d’enseigner les mathématiques à tout le monde, en différenciant toutefois les objectifs d’apprentissage à partir d’un certain stade. C’est précisément ce que fait notre système éducatif. Mais il me semble très important de ne pas se tromper d’objectif, et d’utiliser des approches pédagogiques à la fois adaptées au public concerné et alignées avec les objectifs ciblés.

Il me semble essentiel d’enseigner et de consolider au fil des années les notions mathématiques nécessaires aux deux premiers objectifs présentés plus haut : acquérir des compétences de survie et appuyer notre compréhension du monde dans lequel nous vivons. Par exemple, les notions de probabilités, de statistiques, de proportionnalité, ou encore de croissance exponentielle, linéaire ou polynomiale, devraient être abordées et consolidées à différentes étapes des parcours scolaires, dans l’esprit de les rendre accessibles et compréhensibles par le public ciblé, sur la base d’exemples concrets.

Concernant le troisième objectif, apprendre à penser, [Attention, cet objectif est peut-être illusoire, voir plus haut] ce qui me semble important, ce ne sont pas tant les notions mathématiques abordées – elles doivent être multiples et diverses – que la manière des les aborder et le moment où elles sont abordées, c’est à dire le quand et le comment.

Concernant le quatrième et le cinquième objectifs, acquérir des compétences métiers et maîtriser des outils nécessaires pour progresser dans d’autres disciplines, il me parait important de bien distinguer :

• d’une part, les outils mathématiques indispensables,
• et d’autre part, les fondements théoriques de ces outils, qui relèvent de la culture scientifique et qui, je pense, ne devraient pas avoir de caractère éliminatoire dans les évaluations et certifications.

Le sixième objectif, susciter des vocations et détecter des talents, est très important, mais ne devrait pas conduire à imposer à tout le monde des activités perçues comme contraignantes et rébarbatives par certaines personnes. Je pense qu’il faut aborder cet objectif de manière ludique, sans obligation de résultat, et donc sans pénaliser par de mauvaises notes les personnes qui ne s’avèrent pas intéressées, malgré les incitations, par les spécialités qu’on leur fait découvrir.

Quant au septième objectif, la culture scientifique, il devrait, à mon sens, privilégier des approches pédagogiques qui développent la curiosité intellectuelle, sans forcer les choses trop tôt, à un moment ou le public ciblé n’aurait pas la maturité nécessaire pour s’intéresser aux sujets abordés (j’ai constaté que cela ne se produit au même âge pour tout le monde). On ne peut pas amener les gens à s’intéresser à quelque chose à marche forcée.

Mes inquiétudes

J’ai trois motifs d’inquiétude, qui concernent

1. les contenus des programmes, c’est à dire le quoi,
2. les pratiques d’enseignement, c’est à dire le comment, et
3. le moment où sont abordées certaines notions, c’est à dire le quand.

Le quoi

Lorsque je parcoure les programmes scolaires de collège et de lycée, j’ai vraiment le sentiment qu’ils sont très chargés, qu’ils abordent un nombre considérable de concepts issus de milliers d’années de réflexions menées par des personnes brillantes. Pour les élèves ayant une certaine appétence pour les mathématiques, il y a sans nul doute de quoi se régaler. Mais je crains que pour beaucoup de gens, cela provoque un effet de saturation qui entraîne un rejet des mathématiques parfois lourd de conséquences en termes de poursuite d’études et de perspectives professionnelles.

Par ailleurs, il me semble que certains aspects des mathématiques, comme par exemple les études de fonctions, la dérivation, l’intégration, sont sur-représentés dans l’enseignement secondaire général et professionnel, au regard de ce qu’ils apportent aux différents objectifs évoqués plus haut.

Le comment

Les approches pédagogiques préconisées dans les documents officiels et par certains experts en sciences de l’éducation donnent une très grande importance à l’acquisition d’automatismes. Il est évident, et démontré, que l’acquisition d’automatismes est indispensable pour être en mesure de réaliser efficacement des tâches complexes, mais aussi pour apprendre efficacement de nouveaux savoirs. Si une procédure complexe nécessite d’enchaîner des procédures plus simples, et que vous devez mobiliser votre mémoire de travail en tâtonnant laborieusement pour réaliser ces procédures simples, vous êtes en surcharge cognitive et vous perdez le fil de la procédure complexe, ce qui entrave votre apprentissage.

Mais l’acquisition de ces automatismes ne doit pas occulter les objectifs de haut niveau tels que la capacité à analyser une situation nouvelle, à comprendre en profondeur un système complexe, à résoudre un problème nouveau en utilisant à bon escient des approches et techniques antérieurement exploitées dans des contextes différents, à créer une procédure permettant de résoudre une série de problèmes similaires. Je pense qu’imposer aux élèves de graver un automatisme dans leur cerveau représente une grosse responsabilité et doit pouvoir être justifié : à qui cet automatisme sera utile ? Dans quels contextes, quelles circonstances ? Pour quels types de tâches ? À quels moments de la vie ?

Prenons un exemple. Dans certaines classes de collège, l’un des nombreux automatismes à acquérir est de déterminer si un triangle est rectangle, étant données les longueurs de ses cotés, en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore. Le problème me parait intéressant comme sujet de réflexion. Mais est-ce raisonnable de l’ériger au statut d’automatisme, c’est à dire d’imposer aux élèves d’être en mesure de le traiter sans réfléchir, de manière immédiate et mécanique ? A mon sens, le principal intérêt d’un tel problème c’est, au contraire, d’essayer de le résoudre en recherchant soi-même une méthode. D’un autre coté, même dans une classe très hétérogène avec de grandes différences de niveaux et de bagages, la plupart des élèves peuvent, avec quelques efforts, maîtriser ce type d’objectif. Cela permet de donner de bonnes notes et peut-être de susciter l’engagement, ou à tout le moins de réduire le découragement. Mais n’y a t-il pas un risque de masquer les difficultés de certaines personnes à progresser vers des compétences cognitives de haut niveau, au lieu de les cibler pour aider chaque élève de développer au mieux son potentiel ?

Dans l’exercice de mon métier d’enseignant universitaire, je constate que certaines personnes apprenantes sont, malgré leur efforts, bloquées dans leurs apprentissages de compétences de hauts niveaux cognitifs relevant du domaine de l’ingénierie. Ces personnes semblent être à la recherche d’automatisme, de « recettes », face à des problèmes qui présentent trop de variabilité pour être traités avec ce genre d’approche. J’ai l’impression qu’il y a eu, au collège ou au lycée, des occasions manquées d’amener ces personnes à mieux développer les compétences que j’ai énoncées plus haut en présentant l’objectif « apprendre à penser ». Bien que leurs aptitudes à déduire, généraliser, analyser, comprendre, et créer soient sans doute intactes, ces personnes ne parviennent pas à les mobiliser au niveau nécessaire, et se retrouvent en situation d’échec.

Le quand

Je crains que certaines notions soient abordées trop tôt pour certains et certaines élèves, c’est à dire à un moment où ces personnes ne maîtrisent pas les prérequis. Cela me parait inévitable dans tout système éducatif où toutes les personnes d’un même âge, quel que soit leur niveau et leurs acquis, ont les mêmes objectifs d’apprentissage et étudient dans les mêmes conditions et au même rythme. L’école de la république ne permet pas de choisir son quand.

Mais les prérequis ne sont pas le seul facteur à considérer. Il y a aussi la maturité intellectuelle des personnes apprenantes. Certaines notions de mathématiques introduites au collège et au lycée m’ont largement échappées parce qu’à l’époque, elles me barbaient profondément et que je n’étais pas motivé pour les apprendre, alors que, quelques années plus tard, elles auraient pu m’intéresser. Tout le monde apprend peut-être de la même manière, mais tout le monde n’est pas intéressé ou motivé, au même âge, par les mêmes choses.

La plupart des systèmes éducatifs organisent les enseignements en présence, au sein de classes, souvent constituées de personnes du même âge, devant acquérir les mêmes savoirs à même échéance. L’efficacité d’une approche pédagogique se mesure généralement par le taux de réussite, c’est à dire la proportion des élèves ayant atteint les objectifs d’apprentissage au terme de la période d’enseignement.

Progresser ensemble

L’idée de « progresser ensemble », à l’échelle d’une classe ou d’une promotion, est sous-jacente à l’organisation et aux pratiques pédagogiques de la plupart des systèmes éducatifs et établissements d’enseignement à l’échelle planétaire.

Je propose d’illustrer ce principe par une course cyclistes qui comporte plusieurs étapes, et dont le but est que le plus grand nombre possible de personnes participantes atteignent l’arrivée. Les étapes représentent des objectifs d’apprentissage intermédiaires, qui sont des prérequis pour les suivants.

À chaque période de la course, toutes les personnes participantes partent de la même étape et doivent parcourir un même tronçon jusqu’à l’étape suivante. Il y a un peloton d’élèves qui, dans un effort partagé (ou ressenti comme tel), progressent à un même rythme. Certaines personnes se détachent du peloton et arriveront en avance. D’autres décrochent, sont en difficulté, mais les personnes enseignantes vont les aider (sans pédaler à leur place) à atteindre la prochaine étape à temps pour repartir avec les autres au début de la période suivante.

Les approches défendues par de nombreux spécialistes en raison des résultats probants obtenus à grande échelle, comme l’enseignement explicite, ne dérogent pas à cette règle. Un des principes de cette méthode est de faire en sorte, dans les limites du possible, que les personnes en difficulté, progressant moins vite que les autres, puissent rattraper leur retard en bénéficiant d’un soutien et d’une rétroaction adaptés, voire d’activités de remédiation.

L’idéal pédagogique illustré par la parabole de la course cycliste n’est pas de mettre en compétition les personnes participantes, mais de maximiser le nombre de celles qui réussissent à terminer avec succès une session d’enseignement en validant les compétences acquises par une évaluation sommative. Cet idéal de « progresser ensemble » est très séduisant, ancré dans notre culture collective, mais il faut que les élèves d’une même cohorte ou d’une même classe aient des bagages, prérequis et capacités suffisamment homogènes pour que chacun et chacune puisse pleinement bénéficier de l’enseignement dispensé.

Permettre à chaque élève de progresser au mieux

L’idéal pédagogique que j’ai adopté depuis une quinzaine d’années est différent. Il s’agit de permettre à chaque personne apprenante de progresser au mieux, sous réserve de fournir les efforts nécessaires.

Si on transpose ce principe à une course cycliste, on a toujours un itinéraire constitués de tronçons, séparés par des étapes. Toutes les personnes participantes partent en même temps, mais chacune progresse à son meilleur rythme possible. Tout le monde n’a pas les mêmes objectifs à court et plus long terme. Chaque personne progresse au mieux de ses possibilités sur le tronçon où elle se trouve, avec l’aide (rétroaction, évaluation formative, soutien…) de la personne enseignante. L’accueil est assuré en permanence à chaque étape. À chaque période de la course, les cyclistes se répartissent sur différents tronçons. À la fin, tous les élèves n’ont pas atteint l’arrivée, mais chacun et chacune a (idéalement) tiré le meilleur profit possible de ses efforts. 

La puissance de ce principe réside dans le fait que si chaque personne apprenante progresse au mieux de ses possibilités et qu’elle est capable de réussir, alors elle réussira. Si ce principe est applicable et appliqué, il permettra donc de maximiser le taux de réussite.

Cet idéal n’est pas du tout évident à atteindre, mais il me semble qu’il ouvre une porte vers des pédagogies adaptées à un public très hétérogène, dans la perspective d’une société où l’on apprend tout au long de la vie. Je suis enclin à penser que cette approche peut être bénéfique dans le primaire et le secondaire, bien qu’elle implique de revoir en profondeur l’organisation des enseignements, jusqu’à la notion même de classe dans l’acception actuelle du terme.

Dans le supérieur, et spécialement à l’université, je suis convaincu de son utilité. Pour reprendre la parabole de la course cycliste, dans les unités d’enseignement où j’interviens, c’est comme si au départ de la course, des personnes de tous niveaux et de toutes conditions physiques se présentaient, dûment inscrites, mais que certaines de ces personnes aient besoin de 10 journées pour atteindre la première étape, alors que d’autres pourraient atteindre la deuxième étape en une seule journée.

L’idée de permettre à chaque personne apprenante de progresser à son propre rythme semble absente de la plupart des lieux d’enseignement, tels que les écoles lycées, collèges ou universités, du moins à l’échelle des classes ou promotions. En revanche, elle est omniprésente dans la vie quotidienne. Lors de la prime enfance, on apprend à parler, marcher, lasser ses chaussures, faire du vélo, de cette manière. Ensuite, presque tous les apprentissages « sur le terrain » se font ainsi, par exemple dans le cadre domestique, de loisirs créatifs ou sportifs, ou au sein des entreprises pour l’acquisition de nombreuses compétences professionnelles. Un exemple remarquable est la préparation du permis de conduire. Je connais une personne, par ailleurs capable de progresser très vite dans d’autres domaines de compétence, qui a eu besoin de 140 heures de formation à la conduite pour l’obtenir, alors que la moyenne est de 35 heures. En adaptant la vitesse et la durée de leur apprentissage à leurs capacités, une grande majorité des gens entreprenant de se former à la conduite automobile atteignent leur objectif après un nombre variable d’évaluations sommatives de leurs compétences.

Au regard des expérimentations que j’ai menées, et qui ont toujours obtenu l’adhésion massive de mes étudiantes et étudiants, je pense que le principal obstacle à la mise en œuvre du principe de progression optimale est d’ordre économique. Lorsqu’une personne enseignante à la charge d’un groupe de 30 personnes apprenantes pendant une heure, elle ne peut, en moyenne, consacrer que 2 minutes à chacune d’elles ! Dans de telles conditions, il est difficile de gérer une différenciation des objectifs d’apprentissage. Toutefois, je suis convaincu qu’une utilisation appropriée de la technologie numérique peut changer la donne, en particulier lorsque les personnes apprenantes sont en âge de développer une certaine autonomie d’apprentissage.

D’ailleurs, il y a 10 ans, j’expliquais à mes élèves que s’il est tout à fait possible d’apprendre seul, mes enseignements étaient spécifiquement conçus pour être dispensés en présence et que manquer des cours, TD ou TP pouvait ralentir leur progression au point de compromettre leur réussite. 

Pourquoi un tel changement de position ?

J’ai fait évoluer mon matériel pédagogique vers des ressources d’auto-apprentissage conçues pour permettre à chaque élève d’atteindre les objectifs grâce à des activités réalisées en autonomie, en étant suivi et aidé, selon ses besoins, par une personne enseignante.

Pourquoi une telle évolution ?

• Parce qu’un tel matériel élargit les approches pédagogiques et les modes d’enseignement possibles. Il est parfaitement utilisable dans le cadre d’un enseignement frontal simultané ou d’une séance de TD en mode simultané, mais aussi en enseignement explicite, en pédagogie de la maîtrise, en présence, à distance, pour de la remédiation ou des devoirs à la maison, des révisions espacées, des préparations assignées aux élèves avant un cours magistral, et même pour des pratiques de classe inversée.

• Parce que les cohortes de personnes apprenantes suivant mes enseignements sont extrêmement hétérogènes, au points que certaines personnes maîtrisent déjà une parties des compétences à acquérir, ou sont capables de les acquérir dans un délai 10 ou 100 fois plus court que d’autres personnes qui sont en grande difficulté et / ou auxquelles il manque des prérequis. Donc quelle que soit la pédagogie utilisée, si on veut donner à toutes les personnes apprenantes la possibilité de progresser, il faut fournir des ressources permettant à au moins une partie d’entre-elles de travailler avec une certaine autonomie.

• Parce que j’ai constaté que, spontanément, beaucoup d’élèves recherchent et exploitent des tutoriaux sur le WEB, et parfois même exploitent en priorité ce matériel plutôt que les notes prises en cours ou les documents fournis. Cela peut parfois s’avérer contreproductif lorsque ces ressources exogènes ne sont pas alignées avec les objectifs pédagogiques. Plutôt que de combattre la propension de ces personnes, de plus en plus nombreuses, à utiliser des ressources self contained et attrayantes disponibles sur le WEB, autant leur proposer des ressources en ligne riches, de qualité, mais parfaitement alignées sur les objectifs pédagogiques.

L’approche pédagogique

Abordons maintenant l’approche pédagogique. Tous mes choix dans ce domaine sont guidés par un idéal :

Permettre à chaque personne apprenante de progresser aussi vite que le permettent ses efforts et ses capacités.

• progresser : Atteindre et valider des objectifs.

• capacités : Au regard des différences de prérequis et de vitesse d’apprentissage, il serait illusoire de penser que toutes les personnes inscrites à une unité d’enseignement (UE), même extrêmement motivées, puissent atteindre tous les objectifs au cours des 14 semaines d’enseignement d’un semestre universitaire. En particulier, certaines de ces personnes n’ont pas tous les prérequis.

• efforts : Certaines personnes ne peuvent pas ou ne souhaitent pas consacrer tout leur temps et toute leur énergie à une seule unité d’enseignement, ou même à leurs études. Quels qu’ils soient, les efforts consentis doivent être aussi productifs que possible.

J’ajoute qu’il me parait souhaitable de développer autant que possible les capacités de mes élèves à apprendre de manière autonome. Outre que j’ai appris seul, hors des salles de classe, 90% de ce que j’enseigne aujourd’hui, je ne crois pas au concept d’une société apprenante dans laquelle la formation tout au long de la vie se ferait dans un contexte scolaire. Je pense que le meilleur service à rendre à mes élèves est de les amener à être capables d’apprendre par eux-mêmes.

Quel type de pédagogie est adaptée à un tel dessein ?

Je n’ai pas de certitude, mais je suis convaincu qu’il faut limiter les interventions et activités en mode simultané. L’approche que je privilégie est basée sur une différenciation des objectifs d’apprentissage dans le but de permettre à chaque élève de progresser à un rythme optimal. Elle reprend certains éléments de la pédagogie de maîtrise introduite par Bloom à la fin des années 1960 : définition claire des objectifs, rôle central des prérequis, flexibilité du temps d’apprentissage, évaluations formatives, reprise de l’évaluation, rétroaction, mais avec toutefois des différences. Dans le modèle de la pédagogie de maitrise, des remédiations permettent aux élèves en difficulté de rattraper leur retard de façon à ce que toute la classe atteigne certains objectifs à chaque étape d’un curriculum commun. Comme je l’ai évoqué précédemment, une telle politique me parait inapplicable dans le contexte où j’enseigne. Les différences de niveaux, de prérequis, de vitesse d’apprentissage sont trop importantes.

Au lieu de cela, chaque élève adapte ses objectifs et son curriculum en fonction de sa vitesse de progression. Les personnes les moins rapides sont invitées à renoncer à certains objectifs inatteignables afin de consacrer le temps nécessaire aux objectifs atteignables, plutôt que de tenter de couvrir tout le programme pour finir par ne presque rien maitriser. Au contraire, des objectifs supplémentaires sont proposés aux élèves les plus rapides. La personne enseignante conseille, mais n’impose pas. Chaque personne apprenante reste libre d’appliquer ou non les conseils qui lui sont donnés.

Concrètement, je limite les séances d’exposés frontaux simultané au profits d’activité d’apprentissage autonome accompagnées et encadrées par la personne enseignante. Lors de ces activités, les élèves exploitent des documents papiers ou – sous réserve de disposer de l’équipement nécessaire – numériques.

Les objectifs du décloisonnement

Pourquoi proposer aux élèves qui le souhaitent de réaliser certaines activités en autonomie hors les murs des salles de classe ?

• Pour améliorer leur qualité de vie. Si les étudiantes et étudiants qui suivent mes enseignements peuvent avoir moins de contraintes et plus de liberté sans que cela nuise à l’efficacité de leur apprentissage, alors je ne vois aucune raison de les en priver. Le mode d’enseignement en présence n’est en aucun cas un objectif. C’est juste un moyen. L’objectif c’est de transmettre un savoir, dans une acception large du terme, c’est à dire transmettre des connaissances et des compétences.

• Pour améliorer les conditions d’apprentissage. Les élèves les plus autonomes ont la possibilité de choisir leurs lieux et horaires de travail. Les autres bénéficient de salles moins remplies lors des activités en présence, ce qui implique moins de bruit et une personne enseignante plus accessible.

• Pour améliorer l’efficacité de l’apprentissage. Le travail en autonomie permet de répartir son temps d’apprentissage en séances plus courtes. Par exemple, deux heures de TD en présence peuvent être remplacées par deux séances d’une heure ou quatre de trente minutes. Il est prouvé qu’une telle répartition apporte un bénéfice en termes d’efficacité d’apprentissage. Beaucoup d’élèves ne disposent pas d’ordinateur portable lors des enseignements en présence. Les activités à domicile leur permettent d’utiliser d’un ordinateur, donc d’avoir accès à des ressources numériques pouvant être particulièrement bénéfiques pour certains apprentissages. (Exemple : la programmation en langage C.)

• Pour améliorer les conditions d’enseignement. Dans des salles moins bondées, la personne enseignante a plus de facilité à circuler, à s’approcher d’une personne apprenante, et même à s’assoir à côté d’elle pour lui donner des explications. Lors du suivi à distance, la personne enseignante dispose d’un environnement de travail optimal : grands écrans, plan de travail spacieux, écosystème numérique avec ordinateur fixe et tablette, accès facile à toutes les informations permettant d’aider les élèves, canal de communication privé et historique des échanges avec chaque élève.

• Pour plus d’équité. Le décloisonnement permet d’offrir à chaque personne apprenante les conditions les plus favorables pour développer son potentiel et optimiser l’efficacité de son travail. Ces conditions ne sont pas les mêmes pour tout le monde.

Pourquoi imposer certaines activités en non présentiel ?

A mon sens, la seule justification – hors contraintes sanitaires strictes ou nécessité matérielle – est de permettre aux élèves de réaliser des activités qui ne seraient pas aussi efficientes en présence, ou de bénéficier d’un soutien qui serait moins efficace en présence.

Je pense par exemple à des évaluations formatives, donnant lieu à un échange en ligne entre chaque élève et une personne enseignante dont le but serait d’amener la personne apprenante à comprendre et corriger elle-même ses erreurs. Une telle activité ne me paraît pas praticable efficacement sur papier, au regard des conditions de travail en présence à l’université, et les ressources disponibles ne permettent pas de l’envisager en présence dans une salle équipée d’ordinateurs.

Constats et résultats

J’espérais montrer deux choses :

• Certains élèves sont suffisamment autonomes pour atteindre tous les objectifs sans participer à toutes les séances d’enseignement en présence, dès lors qu’iels bénéficient des ressources pédagogiques adéquates et d’un accompagnement en ligne adapté à leurs besoins.

• L’autonomie des élèves susmentionnés permet aux personnes enseignantes de consacrer plus de temps aux personnes apprenantes en difficulté afin de favoriser leur réussite.

L’expérimentation a-t-elle répondu aux attentes ?

Oui et non. Le premier objectif a été validé au delà des espérances.  Comme le montre ce nuage de points, un nombre significatif de personnes apprenantes ont obtenus de bons, voire d’excellents résultats sans participer ou en participant très peu aux séances de TD en présence. Et parmi celles ayant eu de bons résultats en étant assidues à ces séances, beaucoup ont travaillé de manière très autonome. Leurs rares questions allaient au delà des objectifs pédagogiques ou concernaient des erreurs dans les ressources d’apprentissage.

Concernant le deuxième point, les résultats ne sont pas probants, mais apportent des données intéressantes. Rien ne permet de suspecter la moindre perte de chances, puisque le taux de réussite global à la première session d’examen, de l’ordre de 70% des élèves actifs, est un des meilleurs observés depuis 10 ans. Mais je pense avoir sous-exploité le potentiel du décloisonnement des enseignements de TD. Je n’ai pas vraiment réussi à faire progresser toutes les personnes motivées en difficulté. Je pense toutefois avoir identifié les raisons de cet échec. 

• Les premières évaluations ont été réalisées trop tardivement pour permettre de détecter suffisamment tôt les élèves en difficultés qui n’ont pas fait spontanément état de leur situation. Certaines de ces personnes n’étaient pas conscientes de leurs déficit de compétences, malgré les ressources d’auto-évaluations disponibles.

• Les conseils donnés aux personnes concernées étaient trop abstraits pour leur être pleinement utiles. Par exemple, je leur ai transmis une analyse détaillée des erreurs commises lors des contrôles continus, mais il n’est pas évident que ces personnes aient tiré un bénéfice de ces retours.

Être à la disposition des élèves en difficulté, prêt à répondre à leurs questions, n’est pas suffisant. Analyser leurs erreurs afin de leur donner une rétroaction explicative ne semble pas suffire non plus. Il faut amener les personnes concernées à identifier elles-mêmes leurs erreurs, à les comprendre, et a les corriger, avec une progressivité adaptée à chaque individu. C’est cette approche que je vais développer lors de la seconde expérimentation de décloisonnement prévue l’année prochaine.

Remarque concernant la partie gauche du nuage de points : on constate que la plupart des personnes ayant eu de mauvaises notes (inférieures à 8/20) ont peu participé aux TD en présence, et que les 8 personnes ayant eu les plus mauvaises notes ont très peu ou pas du tout participé à ses séances. Toutefois, il ne faut pas tomber dans le piège de confondre corrélation et causalité. Les données représentées indiquent la localisation géographique des élèves lors des créneaux de TD en présence et non la quantité de travail réalisée chaque semaine. Lorsque la présence en TD est obligatoire, on constate (1) que le taux d’absentéisme est important (au moins 10 personnes absentes, pour un effectif théorique de 30, au delà des trois ou quatre premières semaines), (2) que toutes les personnes présentes ne sont pas concentrées sur les activités d’apprentissage proposées, et (3) que le taux d’échec est au moins aussi élevé que celui observé cette année.