Cierto, las diofánticas tienen casi siempre varias formas de gestión.

a(a² + b²) + 7 = 5a² + 3b² => a(a² + b²) + 7 = 3a² + 3b² + 2a² => a(a² + b²) + 7 = 3(a² + b²) + 2a² => (a-3)(a² + b²) + 7 = 2a² => a=sqrt(((a-3)(a² + b²) + 7)/2) => I) ((a-3)(a² + b²) + 7)/2 ≥ 0 => (a-3)(a² + b²) + 7 ≥ 0 => (a-3)(a² + b²) ≥ -7. Obviamente, (a² + b²) > 0 porque los números al cuadrado siempre son positivos, con lo cual obviamente (a-3)≥-7 => a≥-4. II) (a-3)(a² + b²) + 7 es par => (a-3)(a² + b²) es impar => II.1) a-3 es impar=> a es par; II.2) a² + b² es impar => como a es par, a² es par, y por tanto b² es impar y b es impar.

a(a² + b²) + 7 = 5a² + 3b² => a=(3(a² + b²) + 2a² – 7)/(a² + b²) = 3 + (2a² – 7)/(a² + b²). Nos fijamos en el cociente (2a² – 7)/(a² + b²). Llamémoslo k. k=(2a² – 7)/(a² + b²) => 2a² – 7 = k(a² + b²) => 2a² – 7 = ka² + kb² => (k-2)a² = -7-kb². Cualquier n.º al cuadrado es positivo o 0, luego 3b² es positivo o 0, luego -3b² es negativo o 0, luego -7-3b² es negativo, lo cual no puede ser un número al cuadrado. Sin embargo, para k=1 (es decir, para a=4) a² no es negativa, así que comprobamos la solución y nos da dos, (4, 3) y (4, -3).

Volvemos al párrafo de antes, al I), agotamos los negativos posibles, vemos que no hay soluciones entre ellos. Agotamos hasta a=4. Sabemos que no hay soluciones mayores.

Lo es, pero era para desarrollar en casa durante una semana.

Mediante una proporción. Puesto que 231 es el 77% del total. He introducido un párrafo tratando de explicarlo.